Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx+sin（ωx+

π

2

），ω＞0且函數(shù)f（x）的最小正周期為2π．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值的x值；
（2）若α∈（0，π）且f（α）=

3

4

，求cosα的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用誘導(dǎo)公式與輔助角公式可求得f（x）=

2

sin（ωx+

π

4

），f（x）的最小正周期為2π，可知ω=1，于是f（x）=

2

sin（x+

π

4

），從而可求f（x）的最大值及取得最大值的x值；
（2）f（α）=

3

4

⇒sinα+cosα=

3

4

①，繼而可得cosα-sinα=-

23

4

②，①②聯(lián)立即可求得cosα的值．

解答： 解：（1）f（x）=sinωx+sin（ωx+

π

2

）
=sinωx+cosωx
=

2

sin（ωx+

π

4

），
∵f（x）的最小正周期為2π，
∴ω=

2π

T

=1，
∴f（x）=

2

sin（x+

π

4

）；
其最大值為

2

，當(dāng)x+

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=2kπ+

π

4

（k∈Z），時f（x）取得最大值；
（2）∵f（α）=

3

4

，即sinα+cosα=

3

4

①，
得：2sinαcosα=-

7

16

且α∈（

π

2

，π），
又（cosα-sinα）²=1+

7

16

=

23

16

，
∴cosα-sinα=-

23

4

②，
由①、②解得cosα=

3

8

-

23

8

．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查方程思想與運算求解能力，屬于中檔題．