Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

+2，x∈[1，+∞)．
（1）當a=

1

2

時，①用定義探討函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性；
②解不等式：f(2x-

1

2

)＜f(x+1006)；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）①把a=

1

2

代入函數(shù)解析式，直接由函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
②利用函數(shù)的單調(diào)性把要求接的不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式組，求解不等式組得答案；
（2）把不等式左邊的f（x）通分，由分母恒大于0，轉(zhuǎn)化為分子恒大于0，然后分離變量，利用配方法求最值，則實數(shù)a的取值范圍可求．

解答： 解：（1）當a=

1

2

時，f(x)=x+

1

2x

+2，
①設(shè)x₁＞x₂≥1，
f(x1)-f(x2)=x1+

1

2x1

-x2-

1

2x2

=(x1-x2)+

x2-x1

2x1x2

=(x1-x2)(1-

1

2x1x2

)
=(x1-x2)•

2x1x2-1

2x1x2

．
∵x₁＞x₂≥1，則x₁-x₂＞0，x₁x₂＞1，2x₁x₂-1＞0，
∴(x1-x2)•

2x1x2-1

2x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)；
②∵f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f(2x-

1

2

)＜f(x+1006)?

2x- 1 2 ≥1 2x- 1 2 ＜x+1006

，
解得：

3

4

≤x＜

2013

2

，故原不等式解集為{x|

3

4

≤x＜

2013

2

}；
（2）對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即

x2+2x+a

x

＞0在[1，+∞）上恒成立?a＞-x²-2x在[1，+∞）上恒成立，
記g（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1，∴g_max（x）=g（1）=-3，
故a＞-3．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-3，+∞）．

點評：本題考查恒成立問題，訓(xùn)練了利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了分離變量法和利用配方法求函數(shù)最值，是中檔題．