Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)， 是大于0的常數(shù)）．以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．

（1）求圓的極坐標方程和圓的直角坐標方程；

（2）分別記直線： ， 與圓、圓的異于原點的焦點為， ，若圓與圓外切，試求實數(shù)的值及線段的長．

Answer 1

【答案】(1) ， (2) ，

【解析】試題分析：（1）先將圓的參數(shù)方程化為直角坐標方程，再利用可得圓的極坐標方程，兩邊同乘以利用互化公式 即可得圓的直角坐標方程；（2）由（1）知圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑， 圓與圓外切的性質(zhì)列方程解得，分別將代入、的極坐標方程，利用極徑的幾何意義可得線段的長.

試題解析：（1）圓： （是參數(shù)）消去參數(shù)，

得其普通方程為，

將， 代入上式并化簡，

得圓的極坐標方程，

由圓的極坐標方程，得．

將， ， 代入上式，

得圓的直角坐標方程為．

（2）由（1）知圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑，

，

∵圓與圓外切，

∴，解得，

即圓的極坐標方程為．

將代入，得，得；

將代入，得，得；

故．