Question

已知圓F₁：（x+1）²+y²=1²，圓F₂：（x-1）²+y²=9，若動(dòng)圓C與圓F₁外切且與圓F₂內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)兩圓的方程，算出它們的圓心與半徑，設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)證出：|F₁C|+|F₂C|=r₁+r₂=1+3=4（定值），從而得到圓心C在以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合題意算出a、b之值，可得動(dòng)圓圓心的軌跡方程．

解答： 解：∵圓F₁的方程為：（x+1）²+y²=1，
∴圓F₁的圓心為（-1，0），半徑r₁=1；同理圓R₂的圓心為（1，0），半徑r₂=3．
設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，則|F₁C|=r₁+R，|F₂C|=r₂-R，
兩式相加得：|F₁C|+|F₂C|=r₁+r₂=1+3=4（定值），
∴圓心C在以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)，
由2a=4，c=2，得a=2，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
即動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：

x2

4

+

y2

3

=1

點(diǎn)評(píng)：本題求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與圓的位置關(guān)系、平行線之間的距離公式，屬于中檔題．