Question

已知函數．

（1）當k＝2時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）求f（x）的單調區(qū)間．

 

Answer 1

（1）；（2）當時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（－1,0），單調遞減區(qū)間是（0，＋∞）；當,f（x）的單調遞增區(qū)間是（－1,0）和（，＋∞），單調遞減區(qū)間是（0，）．

當,f（x）的單調遞增區(qū)間是（－1，＋∞）；當時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（－1，）和（0，＋∞），單調遞減區(qū)間是（，0）

【解析】

試題分析：（1）利用導數的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點,利用導數的幾何意義求切線的斜率；（2）函數在某個區(qū)間內可導，則若，則在這個區(qū)間內單調遞增，若，則在這個區(qū)間內單調遞減；（3）若可導函數在指定的區(qū)間上單調遞增（減），求參數問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析：解（1）當k＝2時，f（x）＝（1＋x）－x＋x2，f′（x）＝－1＋2x．

由于f（1）＝，f′（1）＝，

所以曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y－＝ （x－1），即3x－2y＋2ln 2－3＝0．

（2），x∈（－1，＋∞）．

當k＝0時，f′（x）＝－．所以，在區(qū)間（－1,0）上，f′（x）>0；在區(qū)間（0，＋∞）上，f′（x）<0．

故f（x）的單調遞增區(qū)間是（－1,0），單調遞減區(qū)間是（0，＋∞）．

當0<k<1時，由，得x1＝0，x2＝>0．

所以，在區(qū)間（－1,0）和（，＋∞）上，f′（x）>0；在區(qū)間（0，）上，f′（x）<0．

故f（x）的單調遞增區(qū)間是（－1,0）和（，＋∞），單調遞減區(qū)間是（0，）．

當k＝1時，f′（x）＝．故f（x）的單調遞增區(qū)間是（－1，＋∞）．

當k>1時，由＝0，得x1＝∈（－1,0），x2＝0．

所以，在區(qū)間（－1，）和（0，＋∞）上，f′（x）>0；在區(qū)間（，0）上，f′（x）<0．

故f（x）的單調遞增區(qū)間是（－1，）和（0，＋∞），單調遞減區(qū)間是（，0）．

考點：（1）求切線的斜率；（2）利用導數求函數的單調區(qū)間.