Question

13．有如下4個結(jié)論，
①冪函數(shù)的圖象必過定點（1，1）；
②已知x₁，x₂滿足2${\;}^{{x}_{1}}$+x₁-2=0，log₂x₂+x₂-2=0，則x₁+x₂=2；
③已知函數(shù)f（x）=log_ax+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，（a＞0且a≠1），f（5）=1，則f（0.2）=1；
④函數(shù)f（x）=|x²-1|的增區(qū)間是[-1，0]∪[1，+∞），
其中正確結(jié)論的代號是①②④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)冪函數(shù)y=x^α的圖象與性質(zhì)即可判斷命題正確；
②根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的相互關(guān)系，進行簡單的變形，即可判斷命題正確；
③利用f（5）=1，求出f（0.2）的值，即可判斷命題錯誤；
④化簡函數(shù)f（x），求出f（x）的增區(qū)間，即可判斷命題正確．

解答 解：對于①，冪函數(shù)y=x^α的圖象必過定點（1，1），命題正確；
對于②，∵2${\;}^{{x}_{1}}$+x₁-2=0，∴${2}^{{x}_{1}}$=2-x₁，∴x₁=log₂（2-x₁）；
又log₂x₂+x₂-2=0，∴l(xiāng)og₂x₂=2-x₂（*），
設(shè)t=2-x₂，∴x₂=2-t，∴（*）化為log₂（2-t）=t，顯然t=x₁；
∴x₁+x₂=t+x₂=2，命題正確；
對于③，函數(shù)f（x）=log_ax+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$，（a＞0且a≠1），
f（5）=1時，log_a5+$\frac{1}{26}$=1，∴l(xiāng)og_a5=$\frac{25}{26}$；
∴f（0.2）=log_a$\frac{1}{5}$+$\frac{25}{26}$=-log_a5+$\frac{25}{26}$=0，命題錯誤；
對于④，函數(shù)f（x）=|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，x≤-1或x≥1}\\{1{-x}^{2}，-1＜x＜1}\end{array}\right.$
∴f（x）的增區(qū)間是[-1，0]∪[1，+∞），命題正確．
綜上，正確的命題是①②④．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是綜合性題目．