Question

已知a，b為實數(shù)，a＞2，函數(shù)f(x)=|lnx-

a

x

|+b，若f(1)=e+1，f(2)=

e

2

-ln2+1．
（1）求實數(shù)a，b；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，e²]上的取值范圍；
（3）若實數(shù)c、d滿足c≥d，cd=1，求f（c）+f（d）的最小值．

Answer 1

（1）由f(1)=e+1，f(2)=

e

2

-ln2+1．
得：

|ln1-a|+b=e+1 |ln2- a 2 |+b= e 2 -ln2+1

，
因為a＞2，所以，

a+b=e+1 a 2 -ln2+b= e 2 -ln2+1

，解得：a=e，b=1．
（2）由（1）知，f(x)=|lnx-

e

x

|+1，
令g(x)=lnx-

e

x

，則g′(x)=

1

x

+

e

x2

=

x+e

x2

，
當x∈[1，e²]時g^′（x）＞0恒成立，
所以，g（x）在[1，e²]上為增函數(shù)，
所以g（x）_min=g（1）=-e，g(x)max=g(e2)=lne2-

e

e2

=2-

1

e

．
所以，|lnx-

e

x

|∈[0，e]，
則函數(shù)f（x）在[1，e²]上的取值范圍是[1，e+1]．
（3）由c≥d，cd=1，得e≥1，
所以lnc≥0，ce≥0，
若1≤c＜e，
f(c)+f(d)=|lnc-

e

c

|+|-lnc-ce|+2
=

e

c

-lnc+lnc+ce+2=

e

c

+ce+2≥2

e c •ce

+2=2e+2．
若c=e，
f(c)+f(d)=|lnc-

e

c

|+|-lnc-ce|+2
=e²+3．
若c＞e，
f(c)+f(d)=|lnc-

e

c

|+|-lnc-ce|+2
=lnc-

e

c

+lnc+ce+2
=2lnc+e(c-

1

c

)+2，
函數(shù)h(c)=2lnc+e(c-

1

c

)+2為（e，+∞）上的增函數(shù)，
所以，f(c)+f(d)＞h(e)=2lne+e(e-

1

e

)+2=e²+3．
因為e²+3≥2e+2，
所以，當c=d=1時，f（c）+f（d）的最小值為2e+2．