Question

已知a，b為實(shí)數(shù)，a＞2，函數(shù)f(x)=|lnx-

a

x

|+b，若f(1)=e+1，f(2)=

e

2

-ln2+1．
（1）求實(shí)數(shù)a，b；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，e²]上的取值范圍；
（3）若實(shí)數(shù)c、d滿足c≥d，cd=1，求f（c）+f（d）的最小值．

Answer 1

分析：（1）把f(1)=e+1，f(2)=

e

2

-ln2+1代入函數(shù)解析式得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組可得a，b的值；
（2）把（1）中求得的a，b的值代入函數(shù)解析式，由函數(shù)單調(diào)性求絕對值內(nèi)部的代數(shù)式的范圍，從而可求函數(shù)f（x）在[1，e²]上的取值范圍；
（3）根據(jù)c≥d，cd=1，得到c≥1，d=

1

c

，把f（c）+f（d）的表達(dá)式用含有c的代數(shù)式表示，然后根據(jù)c的不同取值范圍，利用基本不等式求f（c）+f（d）的最小值，最后得出要求的結(jié)論．

解答：解：（1）由f(1)=e+1，f(2)=

e

2

-ln2+1．
得：

|ln1-a|+b=e+1 |ln2- a 2 |+b= e 2 -ln2+1

，
因?yàn)閍＞2，所以，

a+b=e+1 a 2 -ln2+b= e 2 -ln2+1

，解得：a=e，b=1．
（2）由（1）知，f(x)=|lnx-

e

x

|+1，
令g(x)=lnx-

e

x

，則g′(x)=

1

x

+

e

x2

=

x+e

x2

，
當(dāng)x∈[1，e²]時(shí)g^′（x）＞0恒成立，
所以，g（x）在[1，e²]上為增函數(shù)，
所以g（x）_min=g（1）=-e，g(x)max=g(e2)=lne2-

e

e2

=2-

1

e

．
所以，|lnx-

e

x

|∈[0，e]，
則函數(shù)f（x）在[1，e²]上的取值范圍是[1，e+1]．
（3）由c≥d，cd=1，得e≥1，
所以lnc≥0，ce≥0，
若1≤c＜e，
f(c)+f(d)=|lnc-

e

c

|+|-lnc-ce|+2
=

e

c

-lnc+lnc+ce+2=

e

c

+ce+2≥2

e c •ce

+2=2e+2．
若c=e，
f(c)+f(d)=|lnc-

e

c

|+|-lnc-ce|+2
=e²+3．
若c＞e，
f(c)+f(d)=|lnc-

e

c

|+|-lnc-ce|+2
=lnc-

e

c

+lnc+ce+2
=2lnc+e(c-

1

c

)+2，
函數(shù)h(c)=2lnc+e(c-

1

c

)+2為（e，+∞）上的增函數(shù)，
所以，f(c)+f(d)＞h(e)=2lne+e(e-

1

e

)+2=e²+3．
因?yàn)閑²+3≥2e+2，
所以，當(dāng)c=d=1時(shí)，f（c）+f（d）的最小值為2e+2．

點(diǎn)評：本題考查了利用代入法求函數(shù)解析式，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，此題屬中檔題．