Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=-

7x

x2+x+1

．
（1）求當x＜0時f（x）的解析式；
（2）試確定函數f（x）（x≥0）的單調區(qū)間，并證明你的結論；
（3）若x₁≥2，x₂≥2且x₁≠x₂，證明：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

分析：（1）直接設x＜0，則-x＞0，再利用f（x）=f（-x）即可得x＜0時f（x）的解析式；
（2）先求出其導函數，再利用導函數值的正負和原函數單調性之間的關系即可求出函數f（x）（x≥0）的單調區(qū)間；
（3）利用（2）的結論得當x≥2時，有0＞f（x）≥f（2）=-2；所以有當x₁，x₂≥2時，得-2＜f（x₁）＜0且-2＜f（x₂）＜0，即0＜-f（x₂）＜2，整理后即可得出結論．

解答：解：（1）若x＜0，則-x＞0，
∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（x）=f（-x）=

7x

x2-x+1

（x＜0）（3分）
（2）當x≥0時，f'（x）=

7(x+1)(x-1)

(x2+x+1)2

．（6分）
顯然當0＜x＜1時，f'（x）＜0；
當x＞1時，f'（x）＞0，又f（x）在x=0和x=1處連續(xù)，
∴函數f（x）在[0，1]上為減函數，在[1，+∞）上為增函數．（8分）
（3）證明：∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，且f（x）＜0，
∴當x≥2時，有0＞f（x）≥f（2）=-2．（10分）
又當x₁，x₂≥2時，得-2＜f（x₁）＜0且-2＜f（x₂）＜0，即0＜-f（x₂）＜2
∴-2＜f（x₁）-f（x₂）＜2即得：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．（12分）

點評：本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合以及利用導函數研究函數的單調性，是對函數性質的綜合考查，屬于中檔題．