Question

5．設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P，若AB的中點(diǎn)為C，則|PC|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出兩條動(dòng)直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)A和B，注意到兩條動(dòng)直線相互垂直的特點(diǎn)，則有PA⊥PB；再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，求出PC．

解答 解：由題意可知，動(dòng)直線x+my=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，0），
動(dòng)直線mx-y-m+3=0即m（x-1）-y+3=0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)B（1，3），
注意到動(dòng)直線x+my=0和動(dòng)直線mx-y-m+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點(diǎn)，
則有PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，得|PC|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線恒過(guò)定點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是解題的突破口，是基礎(chǔ)題目．