Question

（2011•東城區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，且當(dāng)n≥5時(shí)，a_n+1=a₁a₂…a_n-1，若數(shù)列{b_n}滿足對(duì)任意n∈N^*，有b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²，則b₅=

65

；當(dāng)n≥5時(shí)，b_n=

70-n

．

Answer 1

分析：在b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²中，令n=5代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求出b₅．由b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²中構(gòu)造出b_n+1=a₁a₂…a_na_n+1-a₁²-a₂²-…-a_n²-a_n+1²，兩式相減，并化簡(jiǎn)整理，可以判斷出當(dāng)n≥5時(shí)，數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)組成等差數(shù)列．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可．

解答：解：由已知，b₅=a₁a₂…a₅-a₁²-a₂²-…-a₅²
=1×2×3×4×5-（1²+2²+3²+4²+5²）
=120-55
=65．
當(dāng)n≥5時(shí)，由a_n+1=a₁a₂…a_n-1，移向得出a₁a₂…a_n-1=a_n+1+1  ①
∵b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²，②
∴b_n+1=a₁a₂…a_na_n+1-a₁²-a₂²-…-a_n²-a_n+1²   ③
^_③-②得b_n+1-b_n=a₁a₂…a_na_n+1-a₁a₂…a_n-a_n+1²   
=a₁a₂…a_n（a_n+1-1）-a_n+1²    （將①式代入）
=（a_n+1+1）（a_n+1-1）-a_n+1²=a_n+1²-1-a_n+1²   
=-1
∴當(dāng)n≥5時(shí)，數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)組成等差數(shù)列，
∴b_n=b₅+（n-5）×（-1）=65-（n-5）=70-n．
故答案為：65   70-n

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差關(guān)系的判定、通項(xiàng)公式．考查轉(zhuǎn)化、變形構(gòu)造、計(jì)算能力．