Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+ a x2 -9

若f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)g（x）=x²+

a

x2

-9，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，得到f（x）的最小值為0，繼而分類討論，求出a的范圍

解答： 解：∵f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），
f（x）=

x2+ a x2 -9

的最小值為0，
設(shè)g（x）=x²+

a

x2

-9，
∴g（x）的最小值為0，
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）=x²+

a

x2

-9≥2

a

-9≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=

4	a

取等號(hào)，解得a≥

81

4

，
當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）的最小值不為0，故不滿足條件，
綜上所述a的取值范圍[

81

4

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合冪函數(shù)數(shù)的性質(zhì)和基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．