Question

已知點P是雙曲線

x2

4

-y²=1上任意一點，過點P分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B，則

PA

•

PB

=（　�。�

• A、-

  12

  25

• B、

  12

  25

• C、-

  24

  25

• D、-

  4

  5

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設P（m，n），則

m2

4

-n²=1，即m²-4n²=4，求出漸近線方程，求得交點A，B，再求向量PA，PB的坐標，由向量的數量積的坐標表示，計算即可得到．

解答： 解：設P（m，n），則

m2

4

-n²=1，即m²-4n²=4，
由雙曲線

x2

4

-y²=1的漸近線方程為y=±

1

2

x，
則由

y= 1 2 x y-n=-2(x-m)

解得交點A（

4m+2n

5

，

2m+n

5

）；
由

y=- 1 2 x y-n=2(x-m)

解得交點B（

4m-2n

5

，

n-2m

5

）．

PA

=（

2n-m

5

，

2m-4n

5

），

PB

=（

-m-2n

5

，

-2m-4n

5

），
則有

PA

•

PB

=

2n-m

5

•

-m-2n

5

+

2m-4n

5

•

-2m-4n

5

=

m2-4n2

25

+

4(4n2-m2)

25

=-

3

25

（m²-4n²）=-

3

25

×4=-

12

25

．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查漸近線方程的運用，考查聯立方程組求交點的方法，考查向量的數量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．