Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)$g（x）=f（x）+\frac{2}{x}$在[1，+∞）上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分離參數(shù)a，問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{2}{x}$-2x²在[1，+∞）上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由題意知，函數(shù)的定義域為（0，+∞），
當a=-2時，f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
當f′（x）＜0時，x∈（0，1），
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．…（6分）
（2）由題意得g′（x）=2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
函數(shù)g（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．
①若g（x）為[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，
則g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{2}{x}$-2x²在[1，+∞）上恒成立，
設(shè)φ（x）=$\frac{2}{x}$-2x²，
∵φ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴φ（x）_max=φ（1）=0，∴a≥0．…（10分）
②若g（x）為[1，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，
則g′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．
∴實數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）．…（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．