Question

4．若曲線f（x，y）=0上兩個(gè)不同的點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的自公切線，則下列方程對(duì)應(yīng)的曲線中存在自公切線的為（　　）
①y=x²-|x|+1； ②y=sinx-4cosx；  ③$y=x+\frac{1}{x}$；  ④$|x|+1=\sqrt{4-{y^2}}$．

• A． ②③
• B． ①②
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的圖象的特征，判斷此函數(shù)是否有自公切線．

解答 解：①、y=x²-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}，x≥0}\\{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，在x=$\frac{1}{2}$和x=-$\frac{1}{2}$ 處的切線都是y=$\frac{3}{4}$，故有自公切線．
②、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=$\frac{3}{5}$，sinφ=$\frac{4}{5}$，
此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖象的最高點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．
 ③、$y=x+\frac{1}{x}$為對(duì)勾函數(shù)，分別位于一三象限，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且導(dǎo)數(shù)為
y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，在（-∞，-1），（1，+∞）遞增，（-1，0），（0，1）遞減，存在平行的切線，不存在自公切線；
④、由于|x|+1=$\sqrt{4-{y}^{2}}$，即 x²+2|x|+y²-3=0，結(jié)合圖象可得，此曲線沒有自公切線．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的自公切線的定義，函數(shù)圖象的特征，準(zhǔn)確判斷一個(gè)函數(shù)是否有自公切線，是解題的難點(diǎn)．