Question

7．已知f（x）=alnx，g（x）=-x²+3x-2．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x），g（x）在x=1處的切線；
（2）討論函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性；
（3）若f（x）＞g（x）在x＞1時(shí)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，分別求出兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，和導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值，代入直線的點(diǎn)斜式方程，可得答案．；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=alnx+x²-3x+2．求導(dǎo)后，分別討論定義域內(nèi)各個(gè)區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性；
（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，可得若f（x）＞g（x）在x＞1時(shí)恒成立，則h（x）＞0在x＞1時(shí)恒成立，進(jìn)而得到滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：（1）∵當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx，g（x）=-x²+3x-2．
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=-2x²+3．
∴f′（1）=1，g（1）=1，
又∵f（1）=0，g（1）=0．
故f（x），g（x）在x=1處的切點(diǎn)坐標(biāo)均為（1，0）點(diǎn)，切線斜率均為1，
故f（x），g（x）在x=1處的切線方程為：y=x-1，即x-y-1=0，
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）-g（x）=alnx+x²-3x+2．
∴h′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-3=$\frac{2{x}^{2}-3x+a}{x}$
當(dāng)a$≥\frac{9}{8}$時(shí)，h′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此時(shí)函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜$\frac{9}{8}$時(shí)，令h′（x）=0，則x=$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4}$，或x=$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$，
此時(shí)x∈（0，$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4}$），或x∈（$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$，+∞）時(shí)，h′（x）＞0函數(shù)h（x）為增函數(shù)，
x∈（$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4}$，$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$）時(shí)，h′（x）＜0函數(shù)h（x）為減函數(shù)，
當(dāng)a≤0時(shí)，令h′（x）=0，則x=$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$，
此時(shí)x∈（$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$，+∞）時(shí)，h′（x）＞0函數(shù)h（x）為增函數(shù)，
x∈（0，$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$）時(shí)，h′（x）＜0函數(shù)h（x）為減函數(shù)，
（3）若f（x）＞g（x）在x＞1時(shí)恒成立，
則h（x）＞0在x＞1時(shí)恒成立，
由（2）得：
當(dāng)a$≥\frac{9}{8}$時(shí)，h（1）=0，滿足h（x）＞0在x＞1時(shí)恒成立，
當(dāng)0＜a＜$\frac{9}{8}$時(shí)，若h（x）＞0在x＞1時(shí)恒成立，則$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$≤1，
解得：1≤a＜$\frac{9}{8}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$＞1，此時(shí)h（$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$）＜1，不滿足條件；
綜上所述，若f（x）＞g（x）在x＞1時(shí)恒成立，a≥1

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，恒成立問題，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的切線，難度中檔．