17.設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{m+48}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1與直線x-y-3=0交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,求x1x2+y1y2的值.

分析 可聯(lián)立直線方程和橢圓的方程消去x便可得到:(2m+48)y2+6my-m2-39m=0,根據(jù)韋達(dá)定理即可求出y1+y2,y1y2,而根據(jù)x1x2=(y1+3)(y2+3)即可得出x1x2,從而得出x1x2+y1y2

解答 解:由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{m+48}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\\{x=y+3}\end{array}\right.$得:(2m+48)y2+6my-m2-39m=0;
∴${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{3m}{m+24},{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{{m}^{2}+39m}{2m+48}$;
∴x1x2=(y1+3)(y2+3)=y1y2+3(y1+y2)+9;
∴x1x2+y1y2=2y1y2+3(y1+y2)+9=$-\frac{{m}^{2}+39m}{m+24}-\frac{9m}{m+24}+9$=$-\frac{{m}^{2}+48m}{m+24}+9$.

點評 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線和橢圓的交點坐標(biāo)和直線方程與橢圓方程形成方程組解的關(guān)系,以及韋達(dá)定理.

練習(xí)冊系列答案
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7.已知f(x)=alnx,g(x)=-x2+3x-2.
(1)當(dāng)a=1時,求f(x),g(x)在x=1處的切線;
(2)討論函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性;
(3)若f(x)>g(x)在x>1時恒成立,求a的取值范圍.

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5.已知橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的兩個焦點為F1、F2,且橢圓E過點(0,$\sqrt{3}$),($\sqrt{3}$,-$\frac{\sqrt{6}}{2}$),點A是橢圓上位于第一象限的一點,且△AF1F2的面積S${\;}_{A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\sqrt{3}$.
(1)求點A的坐標(biāo);
(2)過點B(3,0)的直線l與橢圓E相交于點P、Q,直線AP、AQ分別與x軸相交于點M、N,點C($\frac{5}{2}$,0),證明:|CM|•|CN|為定值,并求出該定值.

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12.已知在極坐標(biāo)下曲線C:ρ(cosθ+2sinθ)=4與點A(2,$\frac{π}{3}$),求曲線C與點A的位置關(guān)系.

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2.在直角坐標(biāo)系中,圓C的方程是x2+y2-4x=0,圓心為C,在以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,曲線C1:ρ=-4$\sqrt{3}$sinθ與圓C相交于A,B兩點.
(1)求直線AB的極坐標(biāo)方程;
(2)若過點C(2,0)的直線C2:$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$(t是參數(shù))交直線AB于點D,交y軸于點E,求|CD|:|CE|的值.

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9.雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點分別為F1、F2,過F2的直線交雙曲線的漸近線于A、B兩點,若F1A⊥F2A,且$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=3$\overrightarrow{A{F}_{2}}$,則雙曲線的離心率為( 。
A.3B.$\frac{3}{2}$C.$\sqrt{3}$D.$\sqrt{6}$

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6.閱讀如圖的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則輸出i的值( 。
A.3B.4C.5D.6

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7.f(x)=$\sqrt{4-x}$的定義域為( 。
A.(4,+∞)B.(-∞,4]C.[4,+∞)D.(-∞,4)

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