Question

10．關(guān)于x的方程x³-ax+2=0有三個不同實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． （3，+∞）
• C． （0，3 ）
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 令f（x）=x³-ax+2，判斷f（x）的單調(diào)性，計算f（x）的極值，得出極值與0的大小關(guān)系解出a的范圍．

解答 解：令f（x）=x³-ax+2，則f′（x）=3x²-a，
（1）若a≤0，則f′（x）≥0，∴f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）最多只有1個零點，不符合題意；
（2）若a＞0，令f′（x）=0得x=±$\sqrt{\frac{a}{3}}$．
∴當(dāng)x＜-$\sqrt{\frac{a}{3}}$或x＞$\sqrt{\frac{a}{3}}$時，f′（x）＞0，
當(dāng)-$\sqrt{\frac{a}{3}}$＜x＜$\sqrt{\frac{a}{3}}$時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）上單調(diào)遞增，在（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-$\sqrt{\frac{a}{3}}$時，f（x）取得極大值f（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}$+2，
當(dāng)x=$\sqrt{\frac{a}{3}}$時，f（x）取得極小值f（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=-$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}$+2，
∵f（x）有三個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}+2＞0}\\{-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}+2＜0}\end{array}\right.$，解得a＞3．
綜上，a＞3．
故選B．

點評 本題考查了函數(shù)零點與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判定，屬于中檔題．