Question

（1）已知不等式ax²+bx+2＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，求不等式2x²+bx+a＜0 的解集；
（2）已知a＞0，解關(guān)于x的不等式x²-（a+

1

a

）x+1＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）不等式ax²+bx+2＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，可得：a＜0，且-1，2是一元二次方程ax²+bx+2＞0的兩個實(shí)數(shù)根．利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
（2）不等式可化為（x-a）(x-

1

a

)＜0．比較a與

1

a

的大小，分類討論即可得出．

解答： 解：（1）∵不等式ax²+bx+2＞0的解集為{x|-1＜x＜2}，∴a＜0，且-1，2是一元二次方程ax²+bx+2＞0的兩個實(shí)數(shù)根．
∴-1+2=-

b

a

，-1×2=

2

a

，解得a=-1，b=1．
∴不等式2x²+bx+a＜0 化為2x²+x-1＜0，解得-1＜x＜

1

2

．
∴不等式2x²+bx+a＜0 的解集為：{x|-1＜x＜

1

2

}．
（2）不等式可化為（x-a）(x-

1

a

)＜0．
由a-

1

a

=

(a+1)(a-1)

a

，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＜

1

a

，解集為{x|a＜x＜

1

a

}；
②當(dāng)a＞1時(shí)，a＞

1

a

，解集為{x|

1

a

＜x＜a}；
③當(dāng)a=1時(shí)，a=

1

a

，（x-1）²＜0的解集為空集．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、分類討論的思想方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．