Question

8．若函數(shù)f（x）=|sin（ωx+$\frac{π}{3}$）|（ω＞1）在區(qū)間[π，$\frac{5}{4}$π]上單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍是[$\frac{7}{6}$，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 由題意求得ω≤2，區(qū)間[π，$\frac{5}{4}π$]內(nèi)的x值滿足 kπ+$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{3}$≤kπ+π，k∈z，求得k+$\frac{1}{6}$≤ω≤$\frac{4}{5}$（k+$\frac{2}{3}$），k∈z，再給k取值，進一步確定ω的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|sin（ωx+$\frac{π}{3}$）|（ω＞0）在[π，$\frac{5π}{4}$π]上單調(diào)遞減，
∴T=$\frac{π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$，即ω≤2．
∵ω＞0，根據(jù)函數(shù)y=|sinx|的周期為π，減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+π]，k∈z，
由題意可得區(qū)間[π，$\frac{5}{4}π$]內(nèi)的x值滿足 kπ+$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{3}$≤kπ+π，k∈z，
即ω•π+$\frac{π}{3}$≥kπ+$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{5π}{4}$+$\frac{π}{3}$≤kπ+π，k∈z．
解得k+$\frac{1}{6}$≤ω≤$\frac{4}{5}$（k+$\frac{2}{3}$），k∈z．
求得：當k=0時，$\frac{1}{6}$≤ω≤$\frac{8}{15}$，不符合題意；當k=1時，$\frac{7}{6}$≤ω≤$\frac{4}{3}$；當k=2時，$\frac{13}{6}$≤ω≤$\frac{32}{15}$，不符合題意．
綜上可得，$\frac{7}{6}$≤ω≤$\frac{4}{3}$，
故答案為：[$\frac{7}{6}$，$\frac{4}{3}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，屬于中檔題．