Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，四邊形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別為MA，DC的中點(diǎn)，求證：
（Ⅰ）EF∥平面MNCB；
（Ⅱ）平面MAC⊥平面BND．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取NC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，MG，由已知條件推導(dǎo)出四邊形MEFG是平行四邊形，由此能證明EF∥平面MNCB．
（Ⅱ）連結(jié)BD、MC，由已知條件推導(dǎo)出AC⊥平面BDN，由此能證明平面MAC⊥平面BND．

解答： 證明：（Ⅰ）取NC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，MG，
∵M(jìn)E∥ND，且ME=

1

2

ND，
又∵F，G分別為DC、NC的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥ND，且FG=

1

2

ND，
∴FG

∥

.

ME，∴四邊形MEFG是平行四邊形，
∴EF∥MG，
又MG?平面MNCB，EF不包含于MNCB，
∴EF∥平面MNCB．
（Ⅱ）連結(jié)BD、MC，∵四邊形MADN是矩形，
∴ND⊥AD，又∵平面ABCD∩平面MADN=AD，
DN?平面MADN，∴ND⊥AC，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵BD∩ND=D，∴AC⊥平面BDN，
又∵AC?平面MAC，
∴平面MAC⊥平面BND．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．