Question

（2013•和平區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=1-2sin²（x+

π

24

）+2sin（x+

π

24

）cos（x+

π

24

）．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角的正弦與余弦及兩角和與差的正弦函數(shù)將f（x）轉(zhuǎn)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求其周期；
（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，解不等式-+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z）即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=1-2sin²（x+

π

24

）+2sin（x+

π

24

）cos（x+

π

24

）
=

2

cos（2x+

π

12

）•cos

π

4

+cos（2x+

π

12

）sin

π

4

=

2

sin（2x+

π

3

）
∴函數(shù)的最小正周期為：T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）
當-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
即kπ-

5π

12

≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z．時函數(shù)是增函數(shù)．
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-

5π

12

，

π

12

+kπ]，k∈Z．

點評：本題考查二倍角的余弦，考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查分析與運算推理能力，屬于中檔題．