Question

已知平面上兩定點M（0，-2）、N（0，2），P為一動點，滿足-=||-||．
（I）求動點P的軌跡C的方程；
（II）若A、B是軌跡C上的兩不同動點，且=λ．分別以A、B為切點作軌跡C的切
線，設(shè)其交點Q，證明-為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先設(shè)P（x，y），欲動點P的軌跡C的方程，即尋找x，y之間的關(guān)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算即可得到．
（II）先設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)，利用向量關(guān)系及向量運算法則，用A，B的坐標(biāo)表示出-，最后看其是不是定值即可．
解答：解：（I）設(shè)P（x，y）．
由已知 =（x，y+2），=（0，4），=（-x，2-y），
•=4y+8．
||•||=4x²+（y-2）²（3分）
∵•=||•||
∴4y+8=4x²+（y-2）²整理，得x²=8y
即動點P的軌跡C為拋物線，其方程為x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．
即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）

-x1=λx2 2-y1=λ（y2-2）

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由=λ
即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2），
∴-x₁=λx₂…（1），
2-y₁=λ（y₂-2）…（2）
將（1）式兩邊平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λy₂（3分）
解得 y₁=2λ，y₂=，
且有x₁x₂=-λx₂²=-8λy₂=-16．（8分）
拋物線方程為 y=18x₂，求導(dǎo)得y′=x．
所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是 y=x₁（x-x₁）+y₁，y=x²（x-x₂）+y₂，
即y=x₁x-x₁²，y=x₂x-x₂²
解出兩條切線的交點Q的坐標(biāo)為 （，）=（，-2）（11分）
所以 •=（，-4）•（x₂-x₁，y₁-y₂）
=（x₂²-x₁²）-4（x₂²-x₁²）=0
所以 •為定值，其值為0．（13分）
點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題   求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．