已知平面上兩定點(diǎn)M(0,-2)、N(0,2),P為一動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足
.
MP
-
.
MN
=|
.
PN
|-|
.
MN
|.
(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(II)若A、B是軌跡C上的兩不同動(dòng)點(diǎn),且
.
AN
.
NB
.分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切
線,設(shè)其交點(diǎn)Q,證明
.
NQ
-
.
AB
為定值.
分析:(I)先設(shè)P(x,y),欲動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程,即尋找x,y之間的關(guān)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到.
(II)先設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用向量關(guān)系及向量運(yùn)算法則,用A,B的坐標(biāo)表示出
.
NQ
-
.
AB
,最后看其是不是定值即可.
解答:解:(I)設(shè)P(x,y).
由已知
MP
=(x,y+2),
MN
=(0,4),
PN
=(-x,2-y),
MP
MN
=4y+8.
|
PN
|•|
MN
|=4x2+(y-2)2(3分)
MP
MN
=|
PN
|•|
MN
|
∴4y+8=4x2+(y-2)2整理,得x2=8y
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為拋物線,其方程為x2=8y.(6分)
(II)由已知N(0,2).
即得(-x1,2-y1)=λ(x2,y2-2)
-x1x2
2-y1=λ(y2-2)

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由
AN
NB

即得(-x1,2-y1)=λ(x2,y2-2),
∴-x1=λx2…(1),
2-y1=λ(y2-2)…(2)
將(1)式兩邊平方并把x12=8y1,x22=8y2代入得y1=λy2(3分)
解得 y1=2λ,y2=
2
λ
,
且有x1x2=-λx22=-8λy2=-16.(8分)
拋物線方程為 y=18x2,求導(dǎo)得y′=
1
4
x.
所以過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是 y=
1
4
x1(x-x1)+y1,y=
1
4
x2(x-x2)+y2,
即y=
1
4
x1x-
1
8
x12,y=
1
4
x2x-
1
8
x22
解出兩條切線的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 (
x1+x2
2
,
x1x2
8
)=(
x1+x2
2
,-2)(11分)
所以
NQ
AB
=(
x1+x2
2
,-4)•(x2-x1,y1-y2
=
1
2
(x22-x12)-4(
1
8
x22-
1
8
x12)=0
所以
.
NQ
.
AB
為定值,其值為0.(13分)
點(diǎn)評(píng):求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題   求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件,用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知平面上兩定點(diǎn)M(0,-2)、N(0,2),P為一動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足數(shù)學(xué)公式-數(shù)學(xué)公式=|數(shù)學(xué)公式|-|數(shù)學(xué)公式|.
(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(II)若A、B是軌跡C上的兩不同動(dòng)點(diǎn),且數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式.分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切
線,設(shè)其交點(diǎn)Q,證明數(shù)學(xué)公式-數(shù)學(xué)公式為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年湖北省邵陽(yáng)市洞口一中高三(上)第三次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知平面上兩定點(diǎn)M(0,-2)、N(0,2),P為一動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足-=||-||.
(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(II)若A、B是軌跡C上的兩不同動(dòng)點(diǎn),且.分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切
線,設(shè)其交點(diǎn)Q,證明-為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知平面上兩定點(diǎn)M(0,-2)、N(0,2),P為一動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足
.
MP
-
.
MN
=|
.
PN
|-|
.
MN
|.
(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(II)若A、B是軌跡C上的兩不同動(dòng)點(diǎn),且
.
AN
.
NB
.分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切
線,設(shè)其交點(diǎn)Q,證明
.
NQ
-
.
AB
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知平面上兩定點(diǎn)M(0,-2),N(0,2),P為一動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;

(2)若A、B是軌跡C上的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn),且,分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線,設(shè)其交點(diǎn)為Q。證明:為定值。

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