Question

已知數(shù)列{a_n}，如果數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁＝a₁，b_n＝a_n＋a_n－1，n≥2，n∈N^*，則稱(chēng)數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”．

(1)若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n＝n，寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”{b_n}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)為c_n＝2n＋b(其中b是常數(shù))，試問(wèn)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{q_n}是否是等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)已知數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)為d_n＝2ⁿ＋n，求數(shù)列{d_n}的“生成數(shù)列”{p_n}的前n項(xiàng)和T_n.

Answer 1

解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，b_n＝a_n＋a_n－1＝2n－1，

當(dāng)n＝1時(shí)，b₁＝a₁＝1適合上式，

∴b_n＝2n－1(n∈N^*)．

(2)q_n＝

當(dāng)b＝0時(shí)，q_n＝4n－2，由于q_n＋1－q_n＝4，

所以此時(shí)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{q_n}是等差數(shù)列．

當(dāng)b≠0時(shí)，由于q₁＝c₁＝2＋b，q₂＝6＋2b，

q₃＝10＋2b，此時(shí)q₂－q₁≠q₃－q₂，

所以此時(shí)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{q_n}不是等差數(shù)列．

(3)p_n＝

當(dāng)n>1時(shí)，T_n＝3＋(3·2＋3)＋(3·2²＋5)＋…＋(3·2^n－1＋2n－1)，

∴T_n＝3＋3(2＋2²＋2³＋…＋2^n－1)＋(3＋5＋7＋…＋2n－1)＝3·2ⁿ＋n²－4.

又n＝1時(shí)，T₁＝3，適合上式，∴T_n＝3·2ⁿ＋n²－4.