Question

7．在平面直角坐標系xOy內(nèi)，F(xiàn)為拋物線y²=4x的焦點，A，B是該拋物線上兩點，且滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，|$\overrightarrow{FA}$|-|$\overrightarrow{FB}$|=4$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$的值是（　　）

• A． -10
• B． -12
• C． -11
• D． -13

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由題意可得AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b．（k≠0）與拋物線方程聯(lián)立可得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，△＞0化為1-kb＞0．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：y₁y₂，x₁-x₂．由于$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，|$\overrightarrow{FA}$|-|$\overrightarrow{FB}$|=4$\sqrt{3}$，可得x₁x₂+y₁y₂=-4，（x₁+1）-（x₂+1）=4$\sqrt{3}$．代入化簡即可解出k，b．$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂，化簡整理即可得出．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由題意可得AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b．（k≠0）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，化為k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
△＞0化為1-kb＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{4-2kb}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²，
x₁-x₂=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1-kb}}{{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，|$\overrightarrow{FA}$|-|$\overrightarrow{FB}$|=4$\sqrt{3}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=-4，（x₁+1）-（x₂+1）=4$\sqrt{3}$．
∴（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=$\frac{（{k}^{2}+1）^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{kb（4-2kb）}{{k}^{2}}$+b²=-4，
$\frac{4\sqrt{1-kb}}{{k}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
分別化為：b+2k=0，1-kb=3k⁴．
聯(lián)立解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
F（1，0）．
則$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=-4+1-（x₁+x₂）
取k=1，b=-2．
x₁+x₂=8，
∴$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=-3-8=-11．
取k=-1，b=2，同理可得$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=-11．
故選：C．

點評 本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．