Question

已知圓C的圓心在直線y=-4x上，且與直線x+y-1=0相切于點P（3，-2）．
（Ⅰ）求圓C方程；
（Ⅱ）點M（0，1）與點N關于直線x-y=0對稱．是否存在過點N的直線l，l與圓C相交于E，F(xiàn)兩點，且使三角形S△OEF=2

2

（O為坐標原點），若存在求出直線l的方程，若不存在用計算過程說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）過切點P（3，2）且與x+y-1=0垂直的直線，與直線y=-4x聯(lián)立求出圓心，由此能求出圓的方程．（Ⅱ）設N（a，b），由點M（0，1）與點N關于直線x-y=0對稱，求出N（1，0），再分斜率不存在和斜率存在兩種情況進行分類討論，能求出直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）過切點P（3，2）且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3，即y=x-5．（1分）
與直線y=-4x聯(lián)立

y=x-5 y=-4x

，解得x=1，y=-4，
∴圓心為（1，-4），…（2分）
∴半徑r=

(3-1)2+(-2+4)2

=2

2

，
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y+4）²=8．…（4分）
（Ⅱ）設N（a，b），∵點M（0，1）與點N關于直線x-y=0對稱，
∴

b+1 2 = a 2 b-1 a =-1

，解得a=1，b=0，∴N（1，0）．…（5分）
①當斜率不存在時，此時直線l方程為x=1，
原點到直線的距離為d=1，
同時令x=1代入圓方程得
y=-4±2

2

，∴|EF|=4

2

，
∴S_OEF=

1

2

×1×4

2

=2

2

滿足題意，
此時方程為x=1．…（8分）
②當斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），
圓心C（1，-4）到直線l的距離d=

|k+4-k|

k2+1

=

4

k2+1

，…（9分）
設EF的中點為D，連接CD，則必有CD⊥EF，
在Rt△CDE中，DE=

8-d2

=

8- 16 k2+1

=

2 2 k2-1

k2+1

，
∴EF=

4 2 k2-1

k2+1

，原點到直線l的距離d1=

|k|

k2+1

，…（10分）
∴S_△OEF=

1

2

•

4 2 k2-1

k2+1

•

|k|

k2+1

=2

2

，…（12分）
整理，得3k²+1=0，不存在這樣的實數(shù)k．
綜上所述，所求的直線方程為x=1．…（14分）

點評：本題考查圓的方程的求法，考查直線方程存在性的討論及其求法，具有一定的探索性，對數(shù)學思維的要求較高，解題時要注意分類討論思想的合理運用．