Question

已知函數(shù)f（x）=x-

a

x

-lnx，a＞0．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）＞x-x²在（1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）由已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，分a≥

1

4

，0＜a＜

1

4

兩種情況，分別討論導(dǎo)函數(shù)的符號，進而可得f（x）的單調(diào)性；
（II）若f（x）＞x-x²在（1，+∞）恒成立，則f（x）-x+x²＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x³-xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x³-xlnx，分析g（x）的單調(diào)性，進而可將問題轉(zhuǎn)化為最值問題．

解答： 解：（I）函數(shù)f（x）=x-

a

x

-lnx的定義域為（0，+∞），
且f′（x）=1+

a

x2

-

1

x

=

x2-x+a

x2

①當(dāng)△=1-4a≤0，即a≥

1

4

時，
f′（x）≥0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)．
②當(dāng)△=1-4a＞0，即0＜a＜

1

4

時，
由f′（x）＞0得，x²-x+a＞0，即x∈（0，

1- 1-4a

2

），或x∈（

1+ 1-4a

2

，+∞）
由f′（x）＜0得，x²-x+a＜0，即x∈（

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

）
∴f（x）在區(qū)間（0，

1- 1-4a

2

），（

1+ 1-4a

2

，+∞）為增函數(shù)；
在區(qū)間（

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

）為減函數(shù)．
（II）若f（x）＞x-x²在（1，+∞）恒成立，
則f（x）-x+x²=x2-

a

x

-lnx＞0在（1，+∞）恒成立，
即a＜x³-xlnx在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=x³-xlnx，h（x）=g′（x）=3x²-lnx-1，
則h′（x）=6x-

1

x

=

6x2-1

x

，
在（1，+∞）上，h′（x）＞0恒成立，
故h（x）＞h（1）=2恒成立，
即g′（x）＞0恒成立，
故g（x）＞g（1）=1，
故0＜a＜1，
即實數(shù)a的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問題，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．