Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=2

3

，c=2

2

則1+

tanA

tanB

=

2c

b

，則∠C=

45⁰

．

Answer 1

分析：將已知等式左邊通分并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，右邊利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，再由a，c及sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值，由a大于c得到A大于C，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)．

解答：解：1+

tanA

tanB

=

tanA+tanB

tanB

=

sinA cosA + sinB cosB

sinB cosB

=

sin(A+B)

cosAsinB

=

sinC

cosAsinB

，
根據(jù)正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：

c

b

=

sinC

sinB

，
∵1+

tanA

tanB

=

2c

b

，
∴

sinC

cosAsinB

=

2sinC

sinB

，即cosA=

1

2

，
又A為三角形的內(nèi)角，
∴∠A=60°，
∵a=2

3

，c=2

2

，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理得：sinC=

csinA

a

=

2

2

，
又a＞c，∴A＞C，
∴∠C=45°．
故答案為：45°

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．