Question

18．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{1}{2}$，過C₁的左焦點(diǎn)F₁的直線l：x-y+2=0，直線l被圓C₂：（x-3）²+（y-3）²=r²（r＞0）截得的弦長為2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)C₁的右焦點(diǎn)為F₂，在圓C₂上是否存在點(diǎn)P，滿足|PF₁|=$\frac{a}$|PF₂|，若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）求出F₁點(diǎn)坐標(biāo)即可得出c，進(jìn)而利用離心率得出a，b，求出橢圓方程；
（II）利用垂徑定理求出圓C₂的半徑r，根據(jù)|PF₁|=$\frac{a}$|PF₂|列方程求出P點(diǎn)軌跡方程，根據(jù)軌跡與圓C₂有無交點(diǎn)得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），∴F₁（-2，0）．
即c=2，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴a=4，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）∵圓心C₂（3，3）到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
又直線l被圓C₂截得的弦長為2$\sqrt{2}$，
∴圓C₂的半徑r=$\sqrt{uhvuncc^{2}+（\frac{2\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=2，
故圓C₂的方程為（x-3）²+（y-3）²=4．
設(shè)圓C₂上存在點(diǎn)P（x，y），滿足|PF₁|=$\frac{a}$|PF₂|，即|PF₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|PF₂|，
又F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
整理得（x-14）²+y²=192，表示圓心在C（14，0），半徑是8$\sqrt{3}$的圓．
∴|CC₂|=$\sqrt{（14-3）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{130}$＜8$\sqrt{3}$-2，
∴兩圓沒有公共點(diǎn)．
∴圓C₂上不存在點(diǎn)P滿足|PF₁|=$\frac{a}$|PF₂|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．