Question

12．已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為F₁和F₂，且|F₁F₂|=2，點（1，$\frac{3}{2}$）在該橢圓上
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AF₂B的面積為$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，求以F₂為圓心且與直線l相切圓的方程．

Answer 1

分析 （1）因為|F₁F₂|=2，所以c=1．又點（1，$\frac{3}{2}$）在該橢圓上，所以根據(jù)橢圓的定義可求出a的值，從而求出b．（2）首先應(yīng)考慮直線l⊥x軸的情況，此時A（-1，-$\frac{3}{2}$），B（-1，$\frac{3}{2}$），△AF₂B的面積為3，不符合題意．當(dāng)直線l與x軸不垂直時，），s_△AF2B=$\frac{1}{2}•AB•r$．設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）．代入橢圓方程得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，用弦長公式可得|AB|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$，用點到直線的距離公式可得 圓F₂的半徑r=$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，這樣根據(jù)題中所給面積可求出k的值，從而求出半徑，進(jìn)而得到圓的方程為．

解答 解：（1）因為|F₁F₂|=2，所以c=1．
又點（1，$\frac{3}{2}$）在該橢圓上，所以$2a=\sqrt{{{（1+1）}^2}+{{（\frac{3}{2}-0）}^2}}+\sqrt{{{（1-1）}^2}+{{（\frac{3}{2}-0）}^2}}=4$．
所以a=2，b²=3．
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）①當(dāng)直線l⊥x軸時，可得A（-1，-$\frac{3}{2}$），B（-1，$\frac{3}{2}$），△AF₂B的面積為3，不符合題意
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）．代入橢圓方程得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
顯然△＞0成立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
可得|AB|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$，用點到直線的距離公式可得 圓F₂的半徑r=$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△AF₂B的面積=$\frac{1}{2}$|AB|r=$\frac{12\sqrt{{k}^{4}+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
化簡得：17k⁴+k²-18=0，得k=±1，
∴r=$\sqrt{2}$，圓的方程為（x-1）²+y²=2．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓與圓，用弦長公式點到直線的距離公式、屬于中檔題．