【題目】如圖所示,四棱錐的底面為矩形,已知, ,過底面對角線作與平行的平面交于.
(1)試判定點的位置,并加以證明;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1) 為的中點,見解析(2)
【解析】試題分析:(1)由平面得到,結合為的中點,即可得到答案;
(2)求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量,由此利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值.
試題解析:
(1)為的中點,證明如下:
連接,因為平面,平面平面, 平面,所以,又為的中點,所以為的中點.
(2)連接,因為四邊形為矩形,所以.因為,所以.同理,得,所以平面,以為原點, 為軸,過平行于的直線為軸,過平行于的直線為軸建立空間直角坐標系(如圖所示).
易知, , , , , ,
則, .
顯然, 是平面的一個法向量.設是平面的一個法向量,
則,即,取,
則,
所以 ,
所以二面角的余弦值為.
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【題目】已知橢圓與拋物線y2=x有一個相同的焦點,且該橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點P(0,1)的直線與該橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,若,求△AOB的面積.
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【題目】直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(其中a,b是實數(shù)),且△AOB是直角三角形(O是坐標原點),則點P(a,b)與點(0,1)之間距離的最小值為________.
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【題目】某校從參加某次知識競賽測試的學生中隨機抽出60名學生,將其成績(百分制)(均為整數(shù))分成六段,…后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:
(1)求分數(shù)在內(nèi)的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,從圖中估計總體的眾數(shù)是多少分?中位數(shù)是多少分?
(3)統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表,據(jù)此估計本次考試的平均分.
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【題目】已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.
(1)當m=-1時,求A∪B;
(2)若AB,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若A∩B=,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】某研究機構為了了解各年齡層對高考改革方案的關注程度,隨機選取了200名年齡在內(nèi)的市民進行了調(diào)查,并將結果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(分第一~五組區(qū)間分別為,,,,,).
(1)求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù);
(2)若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進行座談,再從中選取2人在座談會中作重點發(fā)言,求作重點發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.
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【題目】隨著網(wǎng)絡的發(fā)展,網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛,各大購物網(wǎng)站為增加收入,促銷策略越來越多樣化,促銷費用也不斷增加.下表是某購物網(wǎng)站2017年1-8月促銷費用(萬元)和產(chǎn)品銷量(萬件)的具體數(shù)據(jù).
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點圖能夠看出可用線性回歸模型擬合與的關系,請用相關系數(shù)加以說明;(系數(shù)精確到0.001)
(2)建立關于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);如果該公司計劃在9月份實現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件,預測至少需投入促銷費用多少萬元(結果精確到0.01).
參考數(shù)據(jù): , , , , ,其中, 分別為第個月的促銷費用和產(chǎn)品銷量, .
參考公式:(1)樣本的相關系數(shù)
(2)對于一組數(shù)據(jù), , , ,其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為, .
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【題目】已知f(x)是R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=-x2+2x+2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)畫出f(x)的圖像,并指出f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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