【題目】如圖,在四棱柱中,底面ABCD和側(cè)面都是矩形,E是CD的中點,,
.
(1)求證:;
(2)若平面與平面所成的銳二面角的大小為,求線段的長度.
【答案】(1)證明過程詳見解析;(2).
【解析】
試題分析:本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問,由已知得,,所以利用線面平行的判定得平面,再利用線面垂直的性質(zhì),得;第二問,可以利用傳統(tǒng)幾何法求二面角的平面角,也可以利用向量法求平面和平面的法向量,利用夾角公式列出方程,通過解方程,求出線段的長度..
(1)證明:∵底面和側(cè)面是矩形,
∴,
又∵
∴平面 3分
∵平面∴ . 6分
(2)
解法1:延長,交于,連結(jié),
則平面平面
底面是矩形,是 的中點,,∴連結(jié),則
又由(1)可知
又∵,
∴底面,∴∴平面 9
過作于,連結(jié),則是平面與平面即平面與平面所成銳二面角的平面角,所以
又,∴
又易得,,從而由,求得. 12分
解法2:由(1)可知
又∵,∴底面 7分
設(shè)為的中點,以為原點,以,,所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 8分
設(shè),則,,,,
設(shè)平面的一個法向量
∵,
由,得
令,得 9分
設(shè)平面法向量為,因為 ,,
由 得令,得. 10分
由平面與平面所成的銳二面角的大小為,
得 ,解得. 即線段的長度為. 12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,則當(dāng)時,討論單調(diào)性;
(2)若,且當(dāng)時,不等式在區(qū)間上有解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的定義域為,對給定的正數(shù),若存在閉區(qū)間,使得函數(shù)滿足:①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②在上的值域為,則稱區(qū)間為的級“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論錯誤的是( )
A. 函數(shù)()存在1級“理想?yún)^(qū)間”
B. 函數(shù)()不存在2級“理想?yún)^(qū)間”
C. 函數(shù)()存在3級“理想?yún)^(qū)間”
D. 函數(shù), 不存在4級“理想?yún)^(qū)間”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分,(1)小問7分,(2)小問5分)
設(shè)函數(shù)
(1)若在處取得極值,確定的值,并求此時曲線在點處的切線方程;
(2)若在上為減函數(shù),求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線的極坐標(biāo)方程為),圓的參數(shù)方程為: (其中為參數(shù)).
(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系;
(2)若橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),過圓的圓心且與直線垂直的直線與橢圓相交于兩點,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在四棱錐中, 平面,底面是正方形, .
(1)求異面直線與所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示);
(2)求點、分別是棱和的中點,求證: 平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿著同一條直線航行,某一時刻,甲船在最前面的點處,乙船在中間點處,丙船在最后面的點處,且.一架無人機在空中的點處對它們進行數(shù)據(jù)測量,在同一時刻測得, .(船只與無人機的大小及其它因素忽略不計)
(1)求此時無人機到甲、丙兩船的距離之比;
(2)若此時甲、乙兩船相距100米,求無人機到丙船的距離.(精確到1米)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( 。
A.y=﹣x3
B.y=
C.y=x
D.y=
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