Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，左頂點(diǎn)M到直線

x

a

+

y

b

=1的距離d=

4 5

5

，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試求△AOB的面積S的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

c a = 3 2 |b(-a)-ab| a2+b2 = 4 5 5

，又a²=b²+c²，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，x₁x₂+y₁y₂=0，點(diǎn)O到直線AB的距離為

2 5

5

．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)O到直線AB的距離為

2 5

5

，由此能證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

2 5

5

．
（3）設(shè)直線OA的斜率為k₀，OA的方程為y=k₀x，OB的方程為y=-

1

k0

x，聯(lián)立

y=k0x x2 4 +y2=1

，得

x12= 4 1+4k02 y12= 4k02 1+4k02

，同理，得

x22= 4k02 k02+4 y22= 4 k02+4

，由此能求出△AOB的面積S的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

c a = 3 2 |b(-a)-ab| a2+b2 = 4 5 5

，又a²=b²+c²，
解得a=2，b=1，c=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱性知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB為直線的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x12-y12=0，
又點(diǎn)A在橢圓C上，∴

x12

4

-y12=1，
解得|x₁|=|y₁|=

2 5

5

．
此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離d1=|x1|=

2 5

5

．
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+m，
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

，
∵以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，∴OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）•

4m2-4

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
整理，得5m²=4（k²+1），
∴點(diǎn)O到直線AB的距離d1=

|m|

k2+1

=

2 5

5

，
綜上所述，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

2 5

5

．
（3）設(shè)直線OA的斜率為k₀，
當(dāng)k₀≠0時(shí)，OA的方程為y=k₀x，OB的方程為y=-

1

k0

x，
聯(lián)立

y=k0x x2 4 +y2=1

，得

x12= 4 1+4k02 y12= 4k02 1+4k02

，同理，得

x22= 4k02 k02+4 y22= 4 k02+4

，
∴△AOB的面積S=

1

2

1+k02

•|x1|•

1+ 1 k02

•|x2|=2

(1+k02)2 (1+4k02)(k02+4)

，
令1+k02=t，t＞1，
則S=2

t2 4t2+9t-9

=2

1 - 9 t2 + 9 t +4

，
令g（t）=-

9

t2

+

9

t

+4=-9（

1

t

-

1

2

）²+

25

4

，（t＞1）
∴4＜g（t）≤

25

4

，∴

4

5

≤S＜1，
當(dāng)k₀=0時(shí)，解得S=1，
∴

4

5

≤S≤1，∴S的最小值為

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法，考查點(diǎn)到直線AB的距離為定值的證明，考查三角形的面積的最小值的求法，解題時(shí)要注意韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．