Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閒（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx，所以f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

．因?yàn)榍�線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，所以f′（1）=f′（3）．由此能求出實(shí)數(shù)a．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且f′（x）=

(ax-1)(x-2)

x

，再由實(shí)數(shù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能夠求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
∵f′（x）=ax-（2a+1）+

2

x

（1）由已知函數(shù)f′（1）=f′（3），
則a-（2a+1）+2=3a-（2a+1）+

2

3

，解得a=

2

3

；
（2）f′（x）=

ax2-(2a+1)x+2

x

=

(ax-1)(x-2)

x

（x∈（0，+∞））       
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=

2-x

x

，由f′（x）＞0得0＜x＜2，由f′（x）＜0得x＞2
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減              
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=

a(x- 1 a )(x-2)

x

=0的x₁=

1

a

（舍去），x₂=2，
由f′（x）＞0的0＜x＜2，
由f′（x）＜0的x＞2
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減          
綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法．解題時(shí)要認(rèn)真題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、切線方程和單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．