Question

設(shè)直線是曲線的一條切線，.

（1）求切點坐標及的值；

（2）當時，存在，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）切點，或者切點，；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先設(shè)切點，然后依題意計算出，由，計算出切點的橫坐標，代入切線的方程，可得切點的縱坐標，最后再將切點的坐標代入曲線C的方程計算得的值；（2）結(jié)合（1）中求出的，確定，設(shè)，然后將存在使成立問題，轉(zhuǎn)化為，進而求出，分、、三種情況討論函數(shù)在上的單調(diào)性，確定，相應(yīng)求解不等式，即可確定的取值范圍.

試題解析：（1）設(shè)直線與曲線相切于點

∴,解得或

代入直線方程，得切點坐標為或

切點在曲線上，∴或

綜上可知，切點，或者切點， 5分

（2）∵，∴，設(shè)，若存在使成立，則只要 7分

①當即時

，是增函數(shù)，不合題意 8分

②若即

令，得，∴在上是增函數(shù)

令，解得，∴在上是減函數(shù)

，,解得 10分

③若即，

令，解得

，∴在上是增函數(shù)

∴，不等式無解，∴不存在 12分

綜上可得，實數(shù)的取值范圍為 13分.

考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.函數(shù)的最值與導數(shù)；3.分類討論的思想.