Question

10．已知點(diǎn)M是⊙O：x²+y²=4上一動(dòng)點(diǎn)，A（4，0），點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程
（2）過(guò)點(diǎn)A的直線與軌跡C有公共點(diǎn)，求的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AM中點(diǎn)P（x，y），則M（2x-4，2y），代入圓的方程得點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A的直線與軌跡C有公共點(diǎn)，圓心（2，0）到直線的距離d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，即可求斜率k的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)AM中點(diǎn)P（x，y），則M（2x-4，2y），
代入圓的方程得（2x-4）²+4y²=4，即（x-2）²+y²=1．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
∵過(guò)點(diǎn)A的直線與軌跡C有公共點(diǎn)，
∴圓心（2，0）到直線的距離d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．