分析 (Ⅰ)設h(x)=2x2+3x-1=m(x2+ax)+n(x+b),展開后整理,由系數相等把a,b用n表示,然后結合n的范圍求得a+2b的取值范圍;
(Ⅱ)設h(x)=m(log4(4x+1))+n(x-1),h(x)是偶函數,則h(-x)-h(x)=0,可得m與n的關系,h(x)有最小值則必有n<0,且有-2n=1,求出m和n值,可得解析式
解答 解:(Ⅰ)h(x)=2x2+3x+1=mf(x)+ng(x)=m(x2+ax)+n(x+b)=mx2+(ma+n)x+nb⇒{m=2ma+n=3nb=1⇒2a+1=3,
所以a+2b=32−12b+2b,易知上式遞增,
所以a+2b∈[32,3].
(Ⅱ)設h(x)=m(log4(4x+1))+n(x-1),
因為h(x)是偶函數,
所以h(-x)-h(x)=0,
即m(log4(4-x+1))+n(-x-1)-m(log4(4x+1))-n(x-1)=0,
所以(m+2n)x=0,可得:m=-2n.
所以h(x)=-2nlog4(4x+1)+n(x-1)=n(-2nlog4(4x+1)+x-1)=n(log44x(4x+1)2-1)=n(log414x+14x+2-1),
因為14x+14x+2≤14,
所以log414x+14x+2-1≤-2,
由題意h(x)≥1,
解得n=-12,從而m=1,
∴h(x)=log4(4x+1)-12(x-1).
點評 本題考查了函數恒成立問題,考查了數學轉化思想方法,訓練了利用導數求函數的最值,關鍵是對題意的理解與合理轉化,是壓軸題.
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A. | 1 | B. | √2 | C. | √3 | D. | 2、 |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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