Question

求證：

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2n-1)•2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

．

Answer 1

分析：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，分兩步加以論證：①當(dāng)n=1時(shí)，可得原等式為

1

2

=

1

2

，顯然成立；②設(shè)當(dāng)n=k時(shí)原等式成立，即有

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2k-1)•2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

，將此代入n=k+1的式子并利用

1

(2k+1)(2k+2)

=

1

2k+1

-

1

2k+2

進(jìn)行化簡(jiǎn)，可證出當(dāng)n=k+1的式子左右兩邊也相等．最后由①②相結(jié)合，可得原等式以任意的n∈N^*恒成立．

解答：解：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

1

1×2

=

1

2

，右邊=

1

1+1

=

1

2

，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2k-1)•2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2k-1)•2k

+

1

(2k+1)(2k+2)

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

(2k+1)(2k+2)

=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+（

1

k+1

+

1

(2k+1)(2k+2)

）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+（

2

2k+2

+

1

2k+1

-

1

2k+2

）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

(k+1)+k

+

1

(k+1)+(k+1)

，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．
根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)一切n∈N^*，原等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)恒等式，要求我們利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．著重考查了數(shù)列的通項(xiàng)寫(xiě)法、裂項(xiàng)法證明等式和數(shù)學(xué)歸納法的一般方法等知識(shí)，屬于中檔題．