Question

已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，且|F₁F₂|=2，離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若△AF₂B的面積為

12 2

7

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的幾何性質(zhì)得到c=1，a=2，再由a，b，c的關(guān)系得到b，即可得到橢圓的方程；
（Ⅱ）討論直線l的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由弦長(zhǎng)公式，求出弦長(zhǎng)，再求點(diǎn)F₂到直線的距離，再由面積公式得到關(guān)于k的方程，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵|F₁F₂|=2，離心率e=

1

2

，
∴c=1，

1

2

=

c

a

，即a=2，b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）①當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，可得A（-1，-

3

2

），B（-1，

3

2

），△AF₂B的面積為

1

2

×2×3=3，不符合題意．
②當(dāng)直線l與x軸不垂直，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程整理得，
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，顯然判別式大于0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
可得|AB|=

1+k2

•

( -8k2 3+4k2 )2- 16k2-48 3+4k2

=

12k2+12

3+4k2

，
又F₂（1，0）到直線l的距離為d=

2|k|

1+k2

，
∴△AF₂B的面積為S=

1

2

|AB|•d=

12|k|• 1+k2

3+4k2

=

12 2

7

，
化簡(jiǎn)得，17k⁴+k²-18=0，得k=±1，
∴直線l的方程為：x+y+1=0或x-y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)：離心率，同時(shí)考查直線與橢圓的位置關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求弦長(zhǎng)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．