Question

13．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{x}{x+2}（x＞0）$，觀察：${f_1}（x）=f（x）=\frac{x}{x+2}$，${f_2}（x）=f（{f_1}（x））=\frac{x}{3x+4}$，${f_3}（x）=f（{f_2}（x））=\frac{x}{7x+8}$，${f_4}（x）=f（{f_3}（x））=\frac{x}{15x+16}$，…，根據(jù)以上事實，當n∈N^*時，由歸納推理可得：f_n（1）=$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，歸納出函數(shù)解析中分母系數(shù)的變化規(guī)律，進而得到答案．

解答 解：由${f_1}（x）=f（x）=\frac{x}{x+2}$，${f_2}（x）=f（{f_1}（x））=\frac{x}{3x+4}$，${f_3}（x）=f（{f_2}（x））=\frac{x}{7x+8}$，${f_4}（x）=f（{f_3}（x））=\frac{x}{15x+16}$，…
歸納可得：f_n（x）=$\frac{x}{（{2}^{n}-1）x+{2}^{n}}$，（n∈N^*）
∴f_n（1）=$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．
故答案為$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．