Question

已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=x²-（m+1）x-m-2的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在x軸的負半軸，點B在x軸的正半軸，與y軸交于點C，且OB=3OA．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，過點A的直線與拋物線交于點E．問：在拋物線的對稱軸上是否存在這樣的點F，使得△ABE與以B、D、F為頂點的三角形相似，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點G（x，1）在拋物線上，求出過點A、B、G的圓的圓心的坐標．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）由題設條件，設A（-x，0），B（3x，0）（x＞0），則，由A（-x，0），知，由此能求出這個二次函數(shù)的解析式．
（2）由這個二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3，知A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），對稱軸為直線x=1．由 ，得到點E的坐標為（）．過點E作EH⊥x軸于H．在Rt△AEH中，可求AE=，若對稱軸與直線交于點P，P點坐標為（1，1）．由∠PAM=∠MDB，知要使得在拋物線的對稱軸上存在點F，使得△ABE與以B、D、F為頂點的三角形相似，只需要或．由此能求出符合題意的F點坐標．
（3）由點G（x，1）在拋物線上，知點G的坐標為（1，1），由A、B、G在同一圓上，知圓心一定在拋物線的對稱軸上，由PA=PA=PG=，知點P即為過點A、B、G的圓的圓心．
解答：解：（1）由題設條件，設A（-x，0），B（3x，0）（x＞0），
則，
∴由A（-x，0），知，
即3m²+2m-5=0，
解得m=1，或m=-（舍）．
∴這個二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3．
（2）在拋物線的對稱軸上存在這樣的點F，使得△ABE與以B、D、F為頂點的三角形相似．∵這個二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），
對稱軸為直線x=1．
∵過點A的直線與拋物線交于點E，
∴，
解得或，
∴點E的坐標為（）．
過點E作EH⊥x軸于H
在Rt△AEH中，可求AE=．
若對稱軸與直線交于點P，
∴P點坐標為（1，1）
∵對稱軸與x軸垂直，交點為點M，
∴在Rt△BMD中，可求BD=2，
在Rt△APM中，，
在Rt△BMD中，，
∴∠PAM=∠MDB．
由題意，要使得在拋物線的對稱軸上存在點F，使得△ABE與以B、D、F為頂點的三角形相似，只需要或．

∴，
解得，
∴點F₁ 的坐標為（1，）．
或，
解得 D，
∴點F₂ 的坐標為（1，-）．
綜上，符合題意的F點坐標為．
（3）∵點G（x，1）在拋物線上
∴點G的坐標為（1，1），
又∵A、B、G在同一圓上
∴圓心一定在拋物線的對稱軸上
∵PA=PA=PG=，
∴點P即為過點A、B、G的圓的圓心
∴點P的坐標為（1，1）．
點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應用，直線與圓的位置關系，圓的簡單性質(zhì)等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．