[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對應(yīng)的一個特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其對應(yīng)的一個特征向量α2=
1
-1
，求矩陣A的逆矩陣A-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，
π
2
)，直線l過點A且傾斜角為
π
4
，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求證：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．
分析：A 利用條件△OBC為正三角形，得∠DCA=∠CBO=60°；再結(jié)合條件得∠EAB=60°；最后在RT△BAE中，求出結(jié)論即可．
B 先設(shè)出矩陣A，根據(jù)條件列出關(guān)于變量得四個等式，解出變量即可求出矩陣A；進而求出矩陣A的逆矩陣A-1．
C：直接根據(jù)直線L過點（-2，6），傾斜角為
π
4
即可求出直線l的參數(shù)方程，同理得到圓C的極坐標方程．
D；直接根據(jù)（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ad-bc）2≥0，進而得到
a2+b2
c2+d2
≥ac+bd＞0，①．同理得到：
a2+b2
c2+d2
≥ad+bc＞0  ②；相乘即可得結(jié)論．
解答：解：A、證明：連接OC，BE，AC，則BE⊥AE，
∵BC=4，
∴OB=OC=BC=4，即△OBC為正三角形．
∴∠CBO=∠COB=60°．
又直線L切圓O與C，
∴∠DCA=∠CBO=60°；
∵AD⊥L，∴∠DAC=90°-60°=30°．
而∠OAC=∠ACO=
1
2
∠COB=30°．
∴∠EAB=60°．
在RT△BAE中，∠EBA=30°，∴AE=
1
2
AB=4．
B；解：設(shè)二階矩陣A=
.
ab
cd
.
，
則有
.
ab
cd
.
.
1
1
.
=3
.
1
1
.
，且
.
ab
cd
.
.
1
-1
.
=-
.
1
-1
.
，
即
a+b=3
a-b=-1
，且
c+d=3
c-d=1
，
解得a=1，b=2，c=2，d=1．
∴A=
.
12
2′1
.
，從而A-1=
.
-
1
3
2
3
2
3
-
1
3
.
．
C．直線L過點（-2，6），傾斜角為
π
4
．
所以直線得參數(shù)方程為
x=-2+
2
2
t
y=6+
2
t
2
（t為參數(shù)）．
又圓心B得直角坐標為（0，4），半徑為4，
所以圓C得直角坐標方程為：x2+（y-4）2=16．
將x=ρ•cosθ，y=ρ•sinθ代入化簡得圓C得極坐標為ρ=8•sinθ．
D；∵（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ad-bc）2≥0，
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，又a，b，c，d都是正數(shù)．
∴
a2+b2
c2+d2
≥ac+bd＞0，①．
同理：
a2+b2
c2+d2
≥ad+bc＞0  ②．
①×②得：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）（ad+bc）＞0．
∴
(a2+b2)(c2+d2)
≥
(ac+bd)(ad+bc)
，
∴xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．
點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，簡單的矩陣運算和利用基本不等式證明不等式，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過
N點的切線交CA的延長線于P．
（1）求證：PM2=PA•PC；
（2）若⊙O的半徑為2
3
，OA=
3
OM，求MN的長．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線x2+4xy+2y2=1在二階矩陣M=
.
1a
b1
.
的作用下變換為曲線x2-2y2=1，求實數(shù)a，b的值；
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t 
y=-1-
3
5
t 
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
設(shè)a，b，c均為正實數(shù)．
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
（2）求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，PA切⊙O于點A，D為PA的中點，過點D引割線交⊙O于B、C兩點．求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)M=
.
10
02
.
，N=
.
1
2
0
01
.
，試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（B）（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M有特征值λ=8，其對應(yīng)的一個特征向量e=
1
1
，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成點（-2，4），求矩陣M2．
（C）（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）
已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直線l的參數(shù)方程為
x=-
3
t
y=1+t
（t為參數(shù)，t∈R）．試在曲線C上一點M，使它到直線l的距離最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 選做題（在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，并將選作標記用2B鉛筆涂黑，每小題10分，共20分，請在答題指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．
A、（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，求證：AB2=AE•AD
B、（選修4-2：矩形與變換）
已知a，b實數(shù)，如果矩陣M=
1a
b2
所對應(yīng)的變換將直線3x-y=1變換成x+2y=1，求a，b的值．
C、（選修4-4，：坐標系與參數(shù)方程）
設(shè)M、N分別是曲線ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
上的動點，判斷兩曲線的位置關(guān)系并求M、N間的最小距離．
D、（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c是不完全相等的正數(shù)，求證：a+b+c＞
ab
+
bc
+
ca
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，AD是∠BAC的平分線，⊙O過點A且與BC邊相切于點D，與AB、AC分別交于E，F(xiàn)，求證：EF∥BC．

B．選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R若矩陣M=
.
-1a
b3
.
所對應(yīng)的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求a，b的值．

C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
將參數(shù)方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
（t為參數(shù)）化為普通方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b是正數(shù)，求證：（a+
1
b
）（2b+
1
2a
）≥
9
2
．

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