Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-3x在區(qū)間[a-1，a+1]（a≥0）上的最大值與最小值之差為4，則實(shí)數(shù)a的值為1或0．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出最大值和最小值，得到關(guān)于a的方程，解出即可．

解答 解：y′=f′（x）=3（x+1）（x-1），
∴函數(shù)在在（-∞，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
①a=0時，函數(shù)在[-1，1]遞減，
函數(shù)的最大值是f（-1）=2，函數(shù)的最小值是f（1）=-2，
∴f（-1）-f（1）=2-（-2）=4，
故a=0符合題意；
②0＜a＜2時，1＜a+1＜3，-1＜a-1＜1，
∴函數(shù)在[a-1，1]遞減，在（1，a+1]遞增，
函數(shù)的最小值是f（1）=-2，
∵f（a+1）-f（a-1）=（a+1）³-3（a+1）-（a-1）³+3（a-1）=2（3a²-2），
令f（a+1）-f（a-1）=0，
解得a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
當(dāng)0＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{3}$時，f（a+1）＜f（a-1），
∴f（x）_max=（a-1）³-3（a-1），
∴f（x）_max-f（x）_min=（a-1）³-3（a-1）-（-2）=4，
解得a=0或a=3，都舍去
當(dāng)$\frac{\sqrt{6}}{3}$≤a＜2時，
∴f（x）_max=（a+1）³-3（a+1），
∴f（x）_max-f（x）_min=（a+1）³-3（a+1）-（-2）=4，
即（a-1）3-3（a-1）-2=0，
解得a=1，a=-2舍去，符合題意．
③a≥2時，f（x）在[a-1，a+1]遞增，
∴f（x）_min=f（a-1），f（x）_max=f（a+1），
∴（a+1）³-3（a+1）-（a-1）³+3（a-1）=4，
解得：a=±$\sqrt{3}$，舍去，
綜上：a=1或0．
故答案為：1或0

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道中檔題．