Question

已知函數(shù)（x∈R），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命題p：關于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對任意x∈R恒成立；命題q：函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）題目給出的是分段函數(shù)，借助于單調(diào)性求出函數(shù)在各個區(qū)間上的范圍，則函數(shù)的值域可求，最小值可求；
（Ⅱ）運用（Ⅰ）中求出的f（x）的最小值代入不等式f（x）≥m²+2m-2，求出對任意x∈R恒成立的m的范圍，根據(jù)函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)求出m的范圍，然后分情況討論“p或q”為真，“p且q”為假時的實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）因為函數(shù)已知函數(shù)（x∈R），
當x＜-2時，f（x）∈（1，+∞）；當時，f（x）；當x＞時，f（x）∈
所以函數(shù)的值域為[1，+∞），最小值為1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m²+2m-2≤1，
即m²+2m-3≤0，解得-3≤m≤1，
所以命題p：-3≤m≤1．
對于命題q，函數(shù)y=（m²-1）^x是增函數(shù)，則m²-1＞1，即m²＞2，
所以命題q：或
由“p或q”為真，“p且q”為假可知有以下兩個情形：
若p真q假，則解得：，
若p假q真，則解得：m＜-3，或m＞．
故實數(shù)m的取值范圍是．
點評：本題考查了分段函數(shù)的最小值的求法及復合命題真假的判斷，分段函數(shù)的值域分段求，最后取并集；
復合命題的真值表：