Question

8．在高中學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們經(jīng)常這樣說(shuō)“如果物理成績(jī)好，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就沒(méi)什么問(wèn)題”某班針對(duì)“高中生物理對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響”進(jìn)行研究，得到了學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系的結(jié)論，現(xiàn)從該班隨機(jī)抽取5名學(xué)生在一次考試中的物理和數(shù)學(xué)成績(jī)，如表：

編號(hào) 成績(jī)	1	2	3	4	5
物理（x）	90	85	74	68	63
數(shù)學(xué)（y）	130	125	110	95	90

（1）求數(shù)學(xué)y成績(jī)關(guān)于物理成績(jī)x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$（b精確到0.1），若某位學(xué)生的物理成績(jī)?yōu)?0分時(shí)，預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)．
（2）要從抽取的這五位學(xué)生中隨機(jī)選出三位參加一項(xiàng)知識(shí)競(jìng)賽，以X表示選中的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)高于100分的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（參考公式：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}n\stackrel{-2}{x}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$b$\overline{x}$，）參考數(shù)據(jù)：90²+85²+74²+68²+63²=29394
90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)$\widehat$、$\widehat{a}$，寫(xiě)出回歸方程，
利用回歸方程計(jì)算x=80時(shí)$\widehat{y}$的值即可；
（2）抽取的五位學(xué)生中成績(jī)高于100分的有3人，X的可以取1，2，3，
計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（90+85+74+68+63）=76，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（130+125+110+95+90）=110，
$\sum_{i=5}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=90²+85²+74²+68²+63²=29394，
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{42595-5×76×110}{29394-5{×76}^{2}}$=$\frac{795}{514}$≈1.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=110-1.5×76=-4；
∴x、y的線性回歸方程是$\widehat{y}$=1.5x-4，
當(dāng)x=80時(shí)，$\widehat{y}$=1.5×80-4=116，
即某位同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?0分，預(yù)測(cè)他的數(shù)學(xué)成績(jī)是116；
（2）抽取的五位學(xué)生中成績(jī)高于100分的有3人，
X表示選中的同學(xué)中高于100分的人數(shù)，可以取1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{•C}_{2}^{0}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$；
故X的分布列為：

X	1	2	3
p	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

X的數(shù)學(xué)期望值為E（X）=1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{10}$=1.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．