Question

1．已知直線l₁：4x-3y+6=0和直線l₂：x=-$\frac{p}{2}$（p＞0）．若拋物線C：y²=2px上的點到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為2．
（I）求拋物線C的方程；
（II）若以拋物線上任意一點M為切點的直線l與直線l₂交于點N，試問在x軸上是否存在定點Q，使Q點在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由橢圓的定義可知，拋物線的焦點（$\frac{p}{2}$，0），根據(jù)拋物線上的點到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為焦點F到直線l₂的距離，根據(jù)點到直線的距離公式，即可求得p的值，求得拋物線方程；
（II）設(shè)直線M（x₀，y₀），y-y₀=k（x-x₀），代入拋物線方程，由與拋物線相切，△=0，求得k=$\frac{2}{{y}_{0}}$，代入求得N點坐標(biāo)，求得向量$\overrightarrow{OM}$和$\overrightarrow{QN}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{QN}$=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，（1-x₁）x₀+${x}_{1}^{2}$+x₁-2=0，即可求得x₁=1，即在x軸上存在點到Q（1，0）在以MN為直徑的圓上．

解答 解：（I）由題意可知，l₂為拋物線的準(zhǔn)線，拋物線的焦點坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），
由拋物線的定義可知拋物線上的點到直線l₂的距離等于其到焦點F的距離，
∴拋物線上的點到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為焦點F到直線l₂的距離，
∴d=$\frac{丨2p+6丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=2，解得：p=2，
∴拋物線的方程為：y²=4x，
（II）設(shè)M（x₀，y₀），由題意可知，直線l的斜率存在且不等于0，設(shè)為直線的斜率為k，
則直線方程為：y-y₀=k（x-x₀），代入拋物線線方程，整理得：ky²-4y+4y₀-k${y}_{0}^{2}$=0，
△=16-4k（4y₀-k${y}_{0}^{2}$）=0，求得k=$\frac{2}{{y}_{0}}$，
∴直線l的方程為：y-y₀=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-x₀），令x=-1，又由${y}_{0}^{2}=4{x}_{0}$，可知N（-1，$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{2{y}_{0}}$），

設(shè)Q（x₁，0），$\overrightarrow{OM}$=（x₀-x₁，y₀），$\overrightarrow{QN}$=（-1-x₁，$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{2{y}_{0}}$），
由題意可知$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{QN}$=0，
∴（x₀-x₁）（-1-x₁）+y₀•$\frac{{y}_{0}^{2}-4}{2{y}_{0}}$=0，
把${y}_{0}^{2}=4{x}_{0}$，代入上式，可得：（1-x₁）x₀+${x}_{1}^{2}$+x₁-2=0，
∵對任意的x₀等式恒成立，$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}_{1}=0}\\{{x}_{1}^{2}+{x}_{1}-2=0}\end{array}\right.$，
∴x₁=1，即在x軸上存在點到Q（1，0）在以MN為直徑的圓上．

點評 本題考查拋物線的方程及性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的定義，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．