Question

等比數(shù)列{a_n}中，已知對(duì)任意自然數(shù)n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（ ）
A．
B．（2ⁿ-1）²
C．4ⁿ-1
D．2ⁿ-1

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)所給的對(duì)任意自然數(shù)n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，給n取1和2，得到數(shù)列的前兩項(xiàng)，得到等比數(shù)列{a_n2}是首項(xiàng)是1，公比是4的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到結(jié)果．
解答：解：∵當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=3，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
∴a₂=2，
∴公比q=2，
∴等比數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)是1，公比是2的等比數(shù)列，
∵a₁²=1，a₂²=4，
∴等比數(shù)列{a_n2}是首項(xiàng)是1，公比是4的等比數(shù)列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²==，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：有的數(shù)列可以通過(guò)遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造出一個(gè)我們較熟悉的數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．這類問(wèn)題考查學(xué)生的靈活性，考查學(xué)生分析問(wèn)題及運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，這是一種化歸能力的體現(xiàn)．