Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，p是橢圓上一點，且在x軸上方，PF₂⊥F₁F₂，PF₂=λPF₁，λ∈[

1

3

，

1

2

]．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)e取最大值時，過F₁，F(xiàn)₂，P的圓Q的截y軸的線段長為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準(zhǔn)線l上任一點A引圓Q的兩條切線，切點分別為M，N．試探究直線MN是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

Answer 1

（1）λ=

|PF2|

|PF1|

=

b2 a

2a- b2 a

，化為2a²λ-b²λ=b²，整理為

b2

a2

=

2λ

1+λ

．
∴e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=1-

2λ

1+λ

=

1-λ

1+λ

，
∴e=

1-λ 1+λ

，在λ∈[

1

3

，

1

2

]上單調(diào)遞減．
∴λ=

1

2

時，e²最小

1

3

，λ=

1

3

時，e²最小

1

2

，∴

1

3

≤e2≤

1

2

，
∴

3

3

≤e≤

2

2

．
（2）當(dāng)e=

2

2

時，

c

a

=

2

2

，∴c=b=

2

2

a，
∴2b²=a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點，∴在y軸上截得的弦長就是直徑，
∴PF₁=6．
又|PF₁|=2a-

b2

a

=2a-

a2

a

=

3

2

a=6，
∴a=4，c=b=2

2

．
∴橢圓方程是

x2

16

+

y2

8

=1．
（3）由（2）得到|PF2|=

b2

a

=

a

2

=2，于是圓心Q（0，1），半徑為3，圓Q的方程是x²+（y-1）²=9．橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=4

2

，
∵直線AM，AN是圓Q的兩條切線，∴切點M，N在以AQ為直徑的圓上．
設(shè)A點坐標(biāo)為(4

2

，t)，∴該圓方程為x(x-4

2

)+(y-1)(y-t)=0．
∴直線MN是兩圓的公共弦，兩圓方程相減得：4

2

x+(t-1)y-8-t=0，這就是直線MN的方程．
該直線化為：(y-1)t+4

2

x-y-8=0，
∴

y-1=0 4 2 x-y-8=0

，解得

x= 9 2 8 y=1

∴直線MN必過定點(

9 2

8

，1)．