已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
6
3
，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為
3
2
．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）∵直線過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0），
∴直線L：
x
a
-
y
b
=1與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為
3
2
，∴
3
2
=
|ab|
a2+b2
．①…（2分）
∵橢圓的離心率 e=
6
3
，∴
c2
a2
=
2
3
．②…（4分）
由①得4a2b2=3a2+3b2，即4a2（a2-c2）=3a2+3（a2-c2）③
由②③得a2=3，c2=2
∴b2=a2-c2=1
∴所求橢圓的方程是
x2
3
+y2=1…（6分）
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0
∴△=36k2-36＞0，∴k＞1或k＜-1…（8分）
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則有x1+x2=
-12k
1+3k2
，x1x2=
9
1+3k2
…（10分）
∵
EC
=（x1+1，y1），
ED
=（x2+1，y2），且以CD為圓心的圓過(guò)點(diǎn)E，
∴EC⊥ED…（12分）
∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0
∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0
∴（1+k2）×
9
1+3k2
+（2k+1）×
-12k
1+3k2
+5=0，解得k=
7
6
＞1，
∴當(dāng)k=
7
6
時(shí)以CD為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)E…（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
3
，-
3
2
)，且橢圓的離心率e=
1
2
，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)A、B及C、D．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：
1
|AB|
+
1
|CD|
為定值；
（Ⅲ）求|AB|+
9
16
|CD|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，p是橢圓上一點(diǎn)，且在x軸上方，PF2⊥F1F2，PF2=λPF1，λ∈[
1
3
，
1
2
]．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)e取最大值時(shí)，過(guò)F1，F(xiàn)2，P的圓Q的截y軸的線段長(zhǎng)為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過(guò)橢圓右準(zhǔn)線l上任一點(diǎn)A引圓Q的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N．試探究直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

過(guò)點(diǎn)M（1，1）作一直線與橢圓
x2
9
+
y2
4
=1相交于A，B兩點(diǎn)，若M點(diǎn)恰好為弦AB的中點(diǎn)，則AB所在直線的方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知A（-3，0），B、C兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿足
AB
•
BQ
=0，
BC
=
1
2
CQ
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與Q的軌跡交于E、F兩點(diǎn)，A′（3，0），求直線A′E、A′F的斜率之和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4（
2
+1），一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1•k2=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為
l1，l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B（如圖）．
（1）當(dāng)l1與l2的夾角為60°，且△POF的面積為
3
2
時(shí)，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)
FA
=λ
AP
時(shí)，求當(dāng)λ取到最大值時(shí)橢圓的離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e=
5
5
，過(guò)F1的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且△MNF2的周長(zhǎng)為4
5

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是過(guò)橢圓E中心的任意弦，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個(gè)交點(diǎn)，求△APB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2-y2=1．
（1）過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；
（2）設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x2+y2=1相切，求證：OP⊥OQ；
（3）設(shè)橢圓C2：4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值．

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